root 2

Die Quadratwurzel aus 2 ist in der Mathematik diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergibt, also die Zahl , für die gilt. Diese Zahl ist eindeutig bestimmt, irrational und wird durch dargestellt. Die ersten Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung sind: = 1,414213562…

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Euklid (fiktiv nach André Thevet, 1584)

Irrationalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Quadratwurzel aus 2 ist wie die Kreiszahl oder die eulersche Zahl irrational. Im Gegensatz zu den beiden ist sie jedoch nicht transzendent, sondern algebraisch. Bereits um 500 v. Chr. war dem Griechen Hippasos von Metapont die Irrationalität bekannt. Den wohl bekanntesten Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 veröffentlichte um 300 v. Chr. der Grieche Euklid.

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Nachkommastellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da Wurzel 2 irrational ist, hat die Zahl in jedem Stellenwertsystem unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen und lässt sich deshalb auch yên lặng Dezimalsystem nur näherungsweise darstellen. Die ersten 50 dezimalen Nachkommastellen lauten:

 (Folge A002193 in OEIS)

Kettenbruchentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Die Kettenbruchdarstellung von Wurzel 2 ist – im Gegensatz zur Kreiszahl  – periodisch, denn Wurzel 2 ist eine quadratische Irrationalzahl. Für die -te Wurzel aus 2 mit trifft dies jedoch nicht zu.

 (Folge A040000 in OEIS)

Diese periodische Entwicklung ergibt sich aus folgenden einfachen Tatsachen (mit der Gaußschen Abrundungsfunktion ):

Die ersten Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung von sind

Kettenwurzeleigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grafische Veranschaulichung der Kettenwurzeldarstellung von

Die Zahl lässt sich folgendermaßen als unendlich fortgesetzte Kettenwurzel darstellen:

[1]

Die Figur verdeutlicht die Konvergenz gegen anhand der Funktionswerte der Wurzelfunktion mit unter Einbeziehung der Hilfsgeraden .

Geometrische Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion von Wurzel 2 auf der Zahlengeraden

Da irrationale Zahlen eine unendlich lange Dezimaldarstellung haben, ist es unmöglich, eine solche Zahl mit dem Lineal genau abzumessen. Es ist aber möglich, die Zahl mit Zirkel und Lineal zu konstruieren: Die Diagonale eines Quadrates ist -mal sánh y sĩ wie seine Seitenlänge. Es reicht auch ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Katheten jeweils 1 Einheit y sĩ sind. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann Einheiten. Um dies zu beweisen, reicht der Satz des Pythagoras: Für die Länge der Diagonale gilt .

Xem thêm: note 11t

Das genannte Dreieck ist auch der Beginn der Wurzelschnecke.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits die alten Hochkulturen haben sich Gedanken über die Wurzel aus 2 gemacht. Die alten Inder schätzen  = 1,414215686… Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von überein, die Abweichung beträgt nur +0,0001502 Prozent. Von ihrer Irrationalität wussten sie wahrscheinlich nichts. Die Babylonier wie auch die Sumerer schätzten um 1950 v. Chr. die Wurzel aus 2 umgerechnet noch auf 1,41. Aus der Zeit um 1800 v. Chr. ist von den Babyloniern eine weitere Näherung überliefert. Sie benutzten in ihrer Keilschrift ein Stellenwertsystem zur Basis 60 und berechneten die Näherung mit

 = 1,414212962…[2]

Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von überein, die Abweichung beträgt nur −0,0000424 Prozent.

Im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte Hippasos von Metapont, ein Pythagoreer, entweder an einem Quadrat oder an einem regelmäßigen Fünfeck, dass das Verhältnis von Seitenlänge zu Diagonale nicht mit ganzen Zahlen darzustellen ist. Damit bewies er die Existenz inkommensurabler Größen. Eine antike Legende, wonach die Veröffentlichung dieser Erkenntnis von den Pythagoreern als Geheimnisverrat betrachtet wurde, ist nach heutigem Forschungsstand unglaubwürdig.

Vorkommen in der Natur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gehirn gibt es Gitterzellen, die 2005 von einer Gruppe um May-Britt und Edvard Moser entdeckt wurden: „Die Gitterzellen wurden in dem Kortexbereich gefunden, der sich direkt neben dem Hippocampus befindet […]. An einem Ende dieses kortikalen Bereichs ist die Maschenweite klein und am anderen Ende sehr groß. Die Maschenweite nimmt jedoch nicht zufällig zu, sondern von einem Bereich zum nächsten jeweils um den Faktor Quadratwurzel aus zwei.“[3]

Xem thêm: phim not me

Sonstiges[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Merkhilfe für die ersten Nachkommastellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gilt:
Die ersten vier Zweierblöcke 1,4 | 14 | 21 | 35 der dezimalen Stellen sind, aufgefasst als zweistellige Zahlen, alle durch sieben teilbar.
Die vier darauf folgenden Ziffern lassen sich in die Blöcke 623 | 7 aufteilen, die ebenfalls durch sieben teilbar sind.

Ganzzahligkeit von Ausdrücken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle ganzen ist nach den binomischen Formeln der Ausdruck

(das allgemeine Glied der Pell-Folge) eine natürliche Zahl. Für ist dies der Nenner des -ten Näherungsbruches der Kettenbruchentwicklung von

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eric W. Weisstein: Pythagoras’s Constant. In: MathWorld (englisch).
  • Folge A028254 in OEIS (Engel-Entwicklung (englisch Engel expansion) von √2)

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte. Deutschsprachige Ausgabe, herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg năm 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 179.
  2. Kleiner Geschichtsabriss zur Computer-, Technik-, Kommunikations - und Mediengeschichte. (Memento vom 9. Mai 2007 yên lặng Internet Archive). Beitrag zum Schülerprojekt Meine Welt 2020. Reportagen aus der Zukunft, 31. März 2000.
  3. Kaja Nordengen: Hjernen er sternen. Ditt eneste uerstattelige organ. Kagge Forlag AS, năm 2016, ISBN 978-82-489-2018-2, S. 81 (norwegisch (Bokmål)): “Gittercellene ble funnet barkområdet som ligger rett ved hippocampus […]. I den ene enden av dette barkområdet er maskestørrelsen liten og i den andre er den kjempe stor. Økningen i maskestørrelse er imidlertid ikke overlatt tilfeldighetene, men øker med kvadratroten av to tát, fra ett område til det neste.”
  4. Square Root of 2. Bei: numberworld.org. 9. Januar 2017, abgerufen am 24. April 2018.